在本教程中，您将对平行板纳米电容器进行原子尺度的模拟，这意味着两个平行金属表面之间的间隙在纳米范围内。这目前不是一个真实的器件，目的只是为了展示一种可用于计算其他结构电容的方法，包括金属/半导体/金属结构。

打开 Builder ，按照以下步骤操作：

• 点击 Add From Database，添加金到 Stash。
• 打开 Builders Cleave plugin，输入Miller 指数为 [111]，创建 Au(111) 电极。
• 利用 Bulk Tools Repeat，将结构在 C 方向上扩至 6 倍。
• 选中并删除中间的两个原子—它们的原子指数为 3 和 14。
• 选中表面的原子（指数为 7 和 8），用工具栏的按钮 将其转变为鬼原子。
• 两表面间的距离还是有点太小。为更改间距，可打开 Coordinate Tools Translate，选中所有右手边表面上的原子（包含离得最近的鬼原子），将这些原子在 Z 方向上移动 + 2 Å。
• 点击 Device Tools Device From Bulk，采用默认设置，将块体结构转变为器件构型。

最终的器件如下图所示。

点击 按钮将器件构型发送到 Script Generator ，按如下所示设置脚本：

• 添加一个 New Calculator ，采用 DFT-LDA 引擎和 SingleZetaPolarized 基组。K 点网格设为 9 × 9 × 100。

• 添加以下分析项目 ：MullikenPopulation, ElectrostaticDifferencePotential 和 ElectronDifferenceDensity。
• 将输出文件名改为 au_vacuumgap.nc。
• 保存脚本为 au_vacuumgap.py。

发送脚本到 Job Manager ，运行计算。在笔记本电脑上需要 15-20 分钟。

为了得到电容，计算 $dq/dV$ 是很有必要的，$dq$ 是表面上的感应电荷，$V$ 是偏压。利用以下脚本执行偏压分别为 0.25 、0.5 、0.75 和 1.0 V 时的计算。

device_configuration = nlread('au_vacuumgap.nc', DeviceConfiguration)[-1]
calculator = device_configuration.calculator()
for voltage in [0.25, 0.5, 0.75, 1.0]:
    # Set new calculator with modified electrode voltages on the configuration
    # use the self consistent state of  the old calculation as starting input.
    device_configuration.setCalculator(
          calculator(electrode_voltages=(0.5*voltage*Volt, -0.5*voltage*Volt)),
                     initial_state=device_configuration)
    device_configuration.update()
    nlsave('au_vacuumgap.nc', device_configuration, object_id="SCF %s" % voltage)
    # -------------------------------------------------------------
    # Mulliken population
    # -------------------------------------------------------------
    mulliken_population = MullikenPopulation(device_configuration)
    nlsave('au_vacuumgap.nc', mulliken_population, object_id="Mulliken %s" % voltage)
    # -------------------------------------------------------------
    # Electrostatic difference potential
    # -------------------------------------------------------------
    electrostatic_difference_potential = ElectrostaticDifferencePotential(device_configuration)
    nlsave('au_vacuumgap.nc', electrostatic_difference_potential, object_id="EDP %s" % voltage)
    # -------------------------------------------------------------
    # Electron difference density
    # -------------------------------------------------------------
    electron_difference_density = ElectronDifferenceDensity(device_configuration)
    nlsave('au_vacuumgap.nc', electron_difference_density, object_id="EDD %s" % voltage)

您可以在此处下载脚本：↓bias_loop.py。用 Job Manager 运行或从终端执行：

$ atkpython bias_loop.py > bias_loop.out

在笔记本电脑上将需要约 1 小时完成计算。

我们将介绍两种不同的方法计算电容：

• 一种基于感应电荷的简便方法；
• 一种基于评估静电能量的更普遍方法。

有限偏压将在两个金表面上形成正/负电荷网络，如下图所示。

现在，原则上电容可以由公式 $C=dq/dV$ 计算得到，$q$ 为偏差函数在一个表面上的总累积电荷。因此，从直线的斜率就可以获得纳米电容器的电容：

上图和基于 Mulliken 群的整个数据分析都可以通过运行脚本：↓mulliken-analysis.py 实现。脚本很长，但这是一个学习 Python 和 QuantumATK 中自定义数据分析的绝佳机会。

脚本显示由数据点拟合的直线得到电容为 5.77*10-22 法拉。为了正确全面地看待这个数字，需要考虑理想平行板电容器，可表达为 $C = \varepsilon A/d$，此处 $vacuum permittivity $ 为真空介电常数，$A$ 为由器件结构计算得到的每个平板的面积。然后您就可以计算平行板间距 $d=A/C$。该步骤也在脚本中完成，并显示结果为 $d$ = 11.05 Å。

将该值与表面金原子之间的距离（13.77 Å）进行比较，所谓图像平面的位置估计高于金表面 1.36 Å。

要使用更为通用和准确的方法计算电容，您需要首先计算静电能量 $E$，其以偏压 $V$ 为变量的函数表达式为：

$$ E(V)=\frac{1}{2}\int \delta v(\mathbf{r},V) \delta n(\mathbf{r}, V)d\mathbf{r} $$

在这里，$\delta v$ 为诱导静电势，$\delta n$ 为诱导密度。

利用脚本 ↓ potential_plot.py 从已存在的 NetCDF 文件中提取 1 V 偏压下的电势和密度，并生成诱导密度和静电势的图。脚本还报告这两个参数：

• 真空间隙中间的电场 $E$ = 0.0905 V/Å；
• 两图像平面间距 $d$ = 11.88 Å。

蓝色圆圈对应于原子位置。主要的电荷累积发生在表面正上方非常狭窄的区域，外表面原子和鬼原子之间。

由此，可以将抛物线按照公式 $E(V) = CV^2/2$ 拟合后提取出电容。用脚本 ↓ v-e-plot.py 计算静电能量并拟合得到电容，如下所示。

脚本报告的电容为 $C$ = 5.45*10^-22 法拉，与采用 Mulliken 电荷分析的简单方法得到的电容值一致。

脚本还可以报告 $d$ = 11.69 Å，对应于金表面上方 1.04 Å 处的图像平面，非常接近于诱导密度峰值的位置。

以上的分析概述是基于电容与电压无关的假设。然而，并非总是如此。更高级的样条曲线拟合允许您研究电容依赖偏压的系统。

如果您已经在上一部分运行过 mulliken-analysis.py 和 v-e-plot.py，您现在可以下载并运行脚本 ↓ v-c-plot.py 执行拟合。

计算获得的电容随偏压变化关系如下。正如所料，在本例中电容随偏压变化很小。

真空间隙中的电场非常强（在1 V偏压下超过900*10⁶ V / m），可以立即导致器件被击穿放电。用介电材料代替电容器板之间的真空间隙可以部分解决这个问题。

在 QuantumATK 中有两种不同的方式可以实现：

1. 数字列表项目插入介电材料，明确地形成两个金属-半导体-金属的界面。
2. 数字列表项目采用低级且不太严谨的方法，即您只需要修改两个金界面间区域的介电常数。

出于演示的目的，我们在此选择第二种方法。实际上有两种不同的方法可以修改介电常数：

• 隐式溶剂法：通过修改泊松求解器中的设置，将不为1的介电常数分配给真空区域。
• 空间区域：使用 QuantumATK Builder 在表面间放置介电空间区域。

按照静电能量分析法计算电容的步骤操作，但修改 Poisson solver 为 Multigrid。请这样做：

1. 复制脚本 au_vacuumgap.py 为 au_dielectricgap.py。
2. 将新脚本发送到 Editor ，找到定义泊松求解器的语句。将其更改为

#----------------------------------------
# Poisson Solver Settings
#----------------------------------------
device_poisson_solver = MultigridSolver(
    boundary_conditions=[[PeriodicBoundaryCondition,PeriodicBoundaryCondition],
    [PeriodicBoundaryCondition,PeriodicBoundaryCondition],
    [DirichletBoundaryCondition,DirichletBoundaryCondition]],
    solvent_dielectric_constant=10.0
)

3.将整个脚本的输出文件名更改为 au_dielectricgap.nc，运行脚本。

4.调整静电能量分析法的分析脚本，将 au_dielectricgap.py 作为输入文件，运行脚本。

重复模拟和分析，您会发现电容增加了大约7倍。您可以清楚地看到下图红色圆圈所表示的电场预期内的不连续性。

尝试用介质空间区域做相同的模拟，在 Builder 中用 Miscellaneous Spatial Regions 工具在表面放置一个相对介电常数为 10 的框：

将新的结构发送到 Script Generator ，然后重复所有的步骤。或者只需要在 Editor 中发开结构，复制/粘贴已有脚本中的相关部分，修改输出文件名称。

结果如下所示，电介质区域的位置由灰色阴影表示。

在两种电介质的情况下，获得的电容为 2.7-3.8 zF，具体取决于选用的计算方法。差异主要源于：对于空间区域方法，您需要明确选择空间区域与表面的距离。这是由隐式溶剂方法隐含自动决定的，因为介电常数设置为 1 以尽可能接近每个原子核，鬼原子亦如此。

• 英文原文：https://docs.quantumwise.com/tutorials/atomic-scale_capacitance/atomic-scale_capacitance.html