自旋轨道耦合（SOC）是导致许多材料（包括半导体）中电子能带劈裂的一个相对论效应。在标准的计算中并不包含这个效应。

在本实例中，你将学到如何为半导体在密度泛函理论计算（ATK-DFT）和半经验Slater-Koster（ATK-SE）计算中考虑自旋轨道耦合。

概要

• 我们从电子结构理论中相对论效应（包括自旋轨道耦合）的一个简短介绍开始。
• 之后你将使用ATK-DFT来学习SOC如何使硅电子能带在$\Gamma$点附近劈裂，导致所谓的“分裂”价带和具有“重”和“轻”空穴的带。
• 之后你将使用SO+MGGA方法来不仅得到正确的能带劈裂同时也得到对间接带隙的一个可靠估计。
• 最后，你将考虑砷化镓晶体，并使用具有SOC参数的Slater-Koster方法来计算GaAs能带结构。

标准的含时Kohn-Sham哈密顿量描述了非相对论电子在原子核设立的外场中的运动（和任何其它可能的外界含时场）。相对论效应由此被完全忽略。对于原子核外部的价电子来说这通常是一个很好的近似，但是对于重元素如金和铅，相对论对电子结构的贡献可以是至关重要的。此外，自旋轨道耦合并不能在一个严格的非相对论描述中被捕获，而它往往打破固体能带色散的简并，从而导致实验所观察到的能带劈裂。

电子结构软件使用赝势（正如ATK-DFT引擎所做），通常使用标量相对论赝势将相对论效应以一个合适的方法并入芯核电子。这是一个计算高效和非常可靠的近似。

然而，包含自旋轨道耦合的计算需要全相对论赝势和对原子自旋自由度的一个非共线表象。这会很占用计算资源，但是如果要完全考虑电子基态的相对论效应就必须这样做。

现在你将使用ATK-DFT来计算包含和不包含自旋轨道耦合的LDA硅能带结构。

• 使用Builder来创建默认（实验）晶格常数的硅晶体。
• 将块体构型送到Script Generator并增加两套下面的三个模块：New Calculator,Initial State, 和 Bandstructure。

双击第一个New Calculator模块，并对其进行如下设置：

• 选择OMX赝势为4个价电子，并使用“中等”精度的基组：

• 在Basic calculator 设置中，增加density-mesh cutoff 为150 Hartree，选择 “Polarized” 自旋，设置一个7x7x7的k点网格，并使用 lsda.nc 作为输出文件:

• 点击OK关闭部件。

双击第一个Initial State模块,，并为硅晶体的自旋极化设置一个初始猜测:

• 设置Initial state type为 “User spin”。然后点击OK。

编辑第一个 Bandstructure 模块，使其沿着$L-\Gamma-X$路径每段取50个点，并在 lsda.nc 文件中保存数据：

加上之后的band structure analysis，这部分完全定义了LSDA基态计算。

接下来，你将为SOLDA计算设置一个类似的工作流程，但使用LSDA基态作为SOLDA基态的初始猜测。

• 修改第二个 New Calculator模块使其与第一个类似，但选择 “Noncollinear Spin-Orbit” 自旋选项并将结果保存在 so-lda.nc。

• 在第二个 Initial State模块中，选择“Use old calculation”并指向 lsda.nc 作为读取初始态的文件：

• 设置最后的 Bandstructure模块与第一个类似，并将结果保存在 so-lda.nc：

ATK-DFT脚本现已完成。也可以在此下载：lda.py。

将脚本送至 Job Manager ，保存为 lda.py，并在你的local machine上串行运行。这将花费仅仅几分钟时间完成。

在运行过程中你可以监测任务的进程：

当结果在LabFloor上出现时，高亮两个能带对象并使用Compare Data工具在同一个图中对LSDA和SO+LDA能带结构进行可视化：

可以做出以下几个观察：

• 与预期一样，LSDA自旋向上和自旋向下能带是一样的（蓝线）。

• 第一眼看上去，SO+LDA和LSDA能带似乎别无二致。特别是，它们都具有一个0.5eV左右的间接带隙。

• 然而，如果你在$\Gamma$点最高价带附近放大（如下图），SO耦合使简并能带劈裂并在一定程度上提升了它们：

• 最顶能带劈裂成两条能带，对应“重”和“轻”空穴。
• 第三条能带以所谓的“分裂”能量同另两条能带分开，实验测量为42.6 meV [dYHS89]。使用SO+LDA 我们计算为44 meV。

上面使用SO+LDA方法得到的能带劈裂与实验劈裂吻合的非常好（42.6 meV [dYHS89]）。然而，带隙小于实验值的一半（1.12eV）。

使用TB09LDA方法可以对此进行很大程度地纠正，它使用一个metaGGA交换关联势并给出非常准确的半导体带隙[dTB09]。所以我们应该期望SO+MGGA方法可以准确预测能带劈裂和带隙。

• 返回Script Generator并在脚本中删除前三个模块。
• 设置交换关联泛函为“SOMGGA” 并使用so-mgga.nc 作为输出文件。
• 确保Initial State从lsda.nc中读取基态，同时Bandstructure analysis模块保存它的输出于so-mgga.nc。
• 保存脚本为mgga.py。如果需要你也可以下载：mgga.py。
• 运行任务-串行运行的话会花费5到10分钟完成。如果任务在4 MPI进程的并行计算中运行则会缩短为3分钟。

再次使用Compare Data plugin，你现在可以将SO+LDA能带结构和SO+MGGA的进行比较。

在上图中很明显SO+MGGA增加了价带与导带的距离。试着使用Bandstructure Analyzer工具来测量SO+MGGA间接带隙。您会发现它约为1.3 eV。

下图放大了劈裂的价带。除了一个竖直的移动，它们相比SO+LDA的结果变化不大。

ATK-SE引擎作为一个参数化的DFT可供替代的选择，提供了对于电子结构计算的紧束缚模型。Slater-Koster（SK）模型就是一个这样的方法，并通过一个特别的SOC参数包含了自旋轨道耦合，在ATK-SE引擎中被执行。 使用Builder来创建具有实验晶格参数的GaAs块体构型，并使用Scripter 来设置Slater-Koster计算：

• 添加 New Calculator和Bandstructure模块。
• 选择ATK-SE: Slater-Koster 计算器引擎和Bassani.sp3d5s 基组并为自旋选择Noncollinear Spin-Orbit。

• 在Bandstructure模块，增加Points per segment 为101以在各个高对称点之间对能带进行精细地取样，并整理默认的Brillouin zone route 为“G, X, W, L, G, K”。

[dTB09] F. Tran and P. Blaha. Accurate band gaps of semiconductors and insulators with a semilocal exchange-correlation potential. Phys. Rev. Lett., 102:226401, 2009. doi:10.1103/PhysRevLett.102.226401.

[dYHS89] (1, 2) Zhiyi Yu, YX Huang, and SC Shen. Spin-orbit splitting of the valence bands in silicon determined by means of high-resolution photoconductive spectroscopy. Physical Review B, 39(9):6287, 1989.

本文翻译：王吉章