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Si(100) 表面的复数能带

本教程中，您将计算 Si 晶体 (100) 面上的复数能带。您将：

  1. 创建 Si(100) 表面；
  2. 设置并运行计算；
  3. 绘制复数能带图（3D 和 2D）。

背景

对于周期性固体，薛定谔方程 $H \psi_{n{\bf k}} = E_{n{\bf k}} S \psi_{n{\bf k}}$ （$S$ 为重叠矩阵）中的 $\psi_{n{\bf k}}$ 可以写为 $\psi_{n{\bf k}}({\bf r}) = e^{-i {\bf k}\cdot {\bf r}} U_{n{\bf k}}({\bf r})$，这里的 $U_{n{\bf k}}({\bf r})$ 是与晶体自身周期性相同的周期函数。在一般的能带结构计算中，波矢量 ${\bf k}$ 为实数，通过求解上面的薛定谔方程得到不同 ${\bf k}$ （通常位于第一布里渊区的高对称线上） 值上的本征矢量，由此确定本征能量 $E_{n{\bf k}}$ （即能带结构）。

计算复数能带的方法可参考 [CS82]。在固定能量 $E$ 的情况下，要求解的是满足薛定谔方程的 ${\bf k}$ 值。这种解法可以得到实数和复数的 ${\bf k}$，实数 ${\bf k}$ 的解是通常的 Bloch 态，而带有虚部的解是在一个方向上呈指数递减，相反方向上递增。这样的解通常不能稳定存在于块体材料中，因此在能带结构计算中通常被忽略。然而，它们可以存在于表面或界面处，并且可以提供关于电子态如何在材料中衰减的信息，例如电子态如何通过一个薄的隧道势垒。

更多关于复数能带结构的概念和在导电结中的应用，请参考：

注意

您将主要使用图形用户界面 QuantumATK 来设置和分析结果。如果您是 QuantumATK 的新手，建议您阅读 Basic QuantumATK Tutorial。

本教程中的计算将使用 QuantumATK 的半经验模型。所有参数的完整说明和有关其物理相关性在很多情况下的详细讨论，可参阅 ATK Reference Manual。特别是，参考手册条目中与复数能带计算相关的：ComplexBandstructure。

提示

本教程使用特定版本的QuantumATK创建，因此涉及的截图和脚本参数可能与您实际使用的版本略有区别，请在学习时务必注意。

  • 不同版本的QuantumATK的py脚本可能不兼容；
  • 较新的版本输出的数据文件默认为hdf5；
  • 老版本的数据文件为nc文件，可以被新版本读取。

Si(100) 表面

启动 QuantumATK，创建一个名为“ComplexBandstructure”的新项目。然后点击 Open，点击工具栏的按钮 开启 Builder。

在 Builder 里，点击 Add From Database，搜索“Silicon（alpha）”结构。双击结果所在行或者点击右下角的 按钮将结构添加到 Stash。

在面板中展开 Builders，打开 Surface（Cleave）工具，按照以下步骤设置 Si(100) 表面：

  1. 保持默认的密勒指数（100），点击 Next。
  2. 保持默认的晶格矢量，点击 Next。
  3. 为平面外的晶胞矢量选择 Periodic (bulk-like)。
  4. 设置表面的厚度为 1 层。
  5. 点击 Finish 将 Si(100) 表面结构添加到 Stash。

为缩短计算时间，避免区域折叠，我们通过以上设置和最小的层数表示表面。

注意

切割平面即本例中的（100）面总是跨越两个第一原胞矢量和 ${\bf B}$。在“electrode”模式下，平面的法线与第三原胞矢量 ${\bf C}$ 重合，但在“bulk-like”模式下则不同。在 QuantumATK 中，复数能带始终沿第三倒易矢量 ${\bf g}_C$ 计算得到，其显然平行于 ${\bf A} \times {\bf B}$。因此使用当前结构您将获得沿（100）面的复数能带结构。

复数能带的计算

点击 Builder 右下角的 按钮将结构发送到 Script Generator ，执行以下步骤。

  1. 添加一个 New Calculator 模块。
  2. 添加 Analysis ComplexBandStructure 模块。
  3. 更改默认输出文件名为 si_100_cbs.nc。

接下来，打开嵌入的 New Calculator 模块（双击），设置一个紧束缚计算。

  1. 选择 ATK-SE: Extended Hückel 计算器。
  2. 设置 k 点取样为 5×5×5。
  3. 在 Huckel 基组下，选择 Cerda.Silicon [diamond GW] basis set。该基组已由 GW 计算拟合，可以对能带结构给出一个很好的描述，包括带隙大小。
  4. 点击 OK 关闭对话框。

下一步，打开 ComplexBandstructure 分析模块，然后编辑：

注意

在复数能带计算中， ${\bf k}$ 在切割平面的投影保持不变，且投影值从 $(k_A,k_B)$ 参数获得，该参数用两个第一倒易晶格矢量 ${\bf g}_A$ 和 ${\bf g}_B$ 表示。因此，所得解将位于与切割平面法线平行的第三倒易晶格矢量 ${\bf g}_C$。对应于每一个 $(k_A,k_B)$ 值可以获得一组新解 $k_C+i\kappa_C$。

请注意，$k_C$ 是复数能带机构的实部，而 $kappa_C$ 为虚部。

您现在已经完成了 Python 脚本，保存为 si_100_cbs.py 并发送到 Job Manager 执行。像这种小的体系仅需要几分钟。如有需要，您也可以在此处下载脚本：↓si_100_cbs.py。

提示

这种类型的计算并行得非常好，因此对于较大的结构，强烈建议并行执行脚本。

分析结果

文件 si_100_cbs.nc 应该已经出现在了 Quantum 的 LabFloor。它包含了保存的 Hückel 计算和 ComplexBandstructure 分析数据块。

ComplexBandstructure

选择那个分析数据块，选择右边插件栏的 Show 2D Plot 工具，显示复数能带图的窗口弹出。放大一些可以过滤掉那些复数部分 $\kappa_C$ 的较大值，因为这些都不是真正相关的。

图51 Si(100) 的能带结构。图右侧显示的是实数能带——注意 ~1.2 eV 的间接带隙。图左侧显示的是复数能带随虚部 $\kappa_C$ 变化。具有一个小虚部的能带是最重要的，因为在您试图沿（100）方向上用电子穿过硅薄片时，它们会衰减较少。

注意

在上图中，$\kappa_C$ 的解可从倒易的笛卡尔坐标中获取，以便更容易地比较不同结构。另一方面，对于能带结构的实部，$\kappa_C$ 的解由 $L$ 归一化后得到，分层垂直于切割平面。在 fcc 晶体沿（100）面切割的案例中，分层为 $L=a/2$，$a$ 为晶格常数。分层可用 layerSeparation() 方法从 ComplexBandstructure 数据块中提取获得，具体可参见 ComplexBandstructure。

3D 和 2D 的可视化

提示：在较新的版本中，复数能带可以直接在分析工具中用Complex Band Structure Analyzer可视化，无需再使用脚本。此处保留脚本供大家学习如何使用Python语言进行复杂的作图。

在能带结构的复数部分中，解也包含了实数部分。因此解可以在三维图中可视化，$(x,y,z)=(k_C, \kappa_C, E)$。使用以下脚本可实现此目的。打开 QuantumATK 的 Editor ，复制粘贴脚本并保存为 3D-plot.py。确保缩进正确。或者，您也可以在此处下载：↓ 3D-plot.py。 

1   from QuantumATK import *
2   from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
3   import matplotlib.pyplot as plt
4   import math
5   
6   # Read the complex bandstructure object from the NC file
7   cbs = nlread('si_100_cbs.nc', ComplexBandstructure)[-1]
8   energies = cbs.energies().inUnitsOf(eV)
9   k_real, k_complex = cbs.evaluate()
10   L = cbs.layerSeparation()
11   
12   fig = plt.figure()
13   ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
14   
15   # First plot the real bands
16   kvr = numpy.array([])
17   e = numpy.array([])
18   
19   # Loop over energies, and pick those where we have solutions
20   for (j, energy) in enumerate(energies):
21       k = k_real[j]*L/math.pi
22       if len(k)>0:
23           e = numpy.append(e,[energy,]*len(k))
24           kvr = numpy.append(kvr,k)
25           
26   # Plot the bands with red
27   ax.scatter([0.0,]*len(kvr), kvr, e, c='r', marker='o', linewidths=0, s=10)
28   
29   # Next plot the complex bands
30   kvr = []
31   kvi = []
32   e = []
33   
34   # Again loop over energies and pick solutions
35   for (j, energy) in enumerate(energies):
36       if len(k_complex[j])>0:
37           for x in numpy.array(k_complex[j]*L/math.pi):
38               kr = numpy.abs(x.real)
39               ki = -numpy.abs(x.imag)
40               # Discard rapidly decaying modes which clutter the plot
41               if ki>-0.3:
42                   e += [energy]
43                   kvr += [kr]
44                   kvi += [ki]
45   
46   # Plot the complex bands with blue
47   ax.scatter(kvi, kvr, e, c='b', marker='o', linewidths=0, s=10)
48   
49   # Put on labels
50   ax.set_xlabel('$\kappa$ (1/Ang)')
51   ax.set_ylabel('$kL/\pi$')
52   ax.set_zlabel('Energy / eV')
53   
54   plt.show()

使用作业管理器 Job Manager 或从终端执行脚本。输出图将类似于下图，但您的点将更加分散，因为下图是由 Hückel 计算产生的，包含 10001 个能量点而不是本例的 501 个。

图 52 Si(100) 面复数能带的 3D 可视化图，实数能带由红色圆点表示，复数部分由蓝色圆点表示。请注意复数能带是怎样与实数能带连接的。

另一种将复数能带结构实数部分可视化的方式就是利用颜色。脚本 ↓ 2D_plot.py 可以实现（您可以看到之后的脚本）。它的最后可能会有些复杂，但那部分仅用于放置颜色条，可以省略。 

1   from QuantumATK import *
2   import matplotlib.pyplot as plt
3   import math
4   
5   # Read the complex bandstructure object from the NC file
6   cbs = nlread('si_100_cbs.nc', ComplexBandstructure)[-1]
7   energies = cbs.energies().inUnitsOf(eV)
8   k_real, k_complex = cbs.evaluate()
9   
10   ax = plt.axes()
11   cmap="Spectral"
12   
13   # First plot the real bands
14   kvr = numpy.array([])
15   e = numpy.array([])
16   for (j, energy) in enumerate(energies):
17       k = k_real[j]*cbs.layerSeparation()/math.pi
18       if len(k)>0:
19           e = numpy.append(e,[energy,]*len(k))
20           kvr = numpy.append(kvr,k)
21           
22   # Plot
23   ax.scatter(kvr, e,
24              c=numpy.abs(kvr),
25              cmap=cmap, marker='o', linewidths=0, s=10)
26              
27   # Next plot the complex bands
28   kvr = numpy.array([])
29   kvi = numpy.array([])
30   e = numpy.array([])
31   
32   for (j, energy) in enumerate(energies):
33       if len(k_complex[j])>0:
34           kr = [numpy.abs(x.real) for x in k_complex[j]]
35           ki = [numpy.abs(x.imag) for x in k_complex[j]]
36           e = numpy.append(e,[energy,]*len(kr))
37           kvr = numpy.append(kvr,kr)
38           kvi = numpy.append(kvi,ki)
39   
40   # Plot with color depending on the imaginary part (corresponding to real k-points)
41   sc = ax.scatter(-kvi, e,
42                   c=kvr,
43                   cmap=cmap, marker='o', linewidths=0, s=10)
44   
45   # Put on labels and decorations
46   ax.axvline(0,color='b')
47   ax.grid(True, which='major')
48   ax.set_xlim(-1, 1)
49   ax.set_ylim(-15, 10)
50   ax.annotate('$\kappa$ (1/Ang)', xy=(0.25,-0.07), xycoords="axes fraction", ha="center")
51   ax.annotate('$kL / \pi$', xy=(0.75,-0.07), xycoords="axes fraction", ha="center")
52   ax.set_ylabel('Energy / eV')
53   
54   # Add a colorbar
55   fig = plt.gcf()
56   x1, x2, y1, y2 = 0., 1, ax.get_ylim()[0], ax.get_ylim()[0]+1
57   trans = ax.transData + fig.transFigure.inverted()
58   ax_x1, ax_y1 = trans.transform_point([x1, y1])
59   ax_x2, ax_y2 = trans.transform_point([x2, y2])
60   ax_dx, ax_dy = ax_x2 - ax_x1, ax_y2 - ax_y1
61   cmap_axes = plt.axes([ax_x1, ax_y1, ax_dx, ax_dy])
62   a = numpy.outer(numpy.arange(0,1,0.01),numpy.ones(10)).transpose()
63   cmap_plt = plt.imshow(a,aspect='auto',cmap=plt.get_cmap(cmap),origin=(0,0))
64   ax = plt.gca()
65   ax.set_xticks([])
66   ax.set_yticks([])
67   ax.set_xticklabels([])
68   ax.set_yticklabels([])
69   
70   plt.show()

图 53 复数能带结构的 2D 可视化图。注意 k 值的颜色编码如何应用于能带结构的实数和复数部分，这使得能更容易分辨出复数能带附着于实数能带的位置。

复数能带的“森林”中有一个相当大的 $\kappa$ 值，在紧束缚模拟中并不常见。然而，对于 DFT 和 Hückel 理论中，基组更大，因此与含有各种价带的未占用能级连接的复数能带也就更多。

提示

您可能注意到了可视化中存在着“间隙”。原因在于，与正常的能带图不同，不是将数据绘制成线而是圆点。在标准的能带图中，您可以用一些置信水平定义“能带”，在对称点（只有在能带交叉处会产生一些小问题）间连续分布。在当前案例中，首先解的数量在每个能量处（尤其是复数一侧）不同，且依赖于能量取样的密度，您可能不会找到一条特别的能带接近于某些点，这些点位于能带非常平缓（重的有效质量）的位置。通过增加能量点的数量可以在一定程度上缓解这种情况。

参考