Meta-GGA 和二维受限的砷化铟

版本：2017.dev

在本教程中，您将学习两个主题：（i）通过密度泛函理论（DFT）结合元广义梯度近似（meta-GGA）交换关联（XC）函数计算能带结构（ii）受限结构的计算，重点专注于如何钝化表面的悬空键。完成本教程后，您将能够：

• 使用 meta-GGA XC 函数执行计算，获得精确的半导体带隙；
• 设置并钝化受限的 III-V 体系（InAs，GaAs，InP，……）;
• 采用具有非整数电荷的特殊赝势钝化氢，即钝化 III-V 和 II-VI 体系表面所需的人工氢原子或赝氢原子，这是因为正常的氢钝化会导致金属表面态;
• 对钝化（正常）的氢原子加上补偿电荷可以替代赝氢原子。

当由 Kohn-Sham 能量本征值计算带隙时，DFT 因预测值过小而不受欢迎。然而，meta-GGA 泛函的研究进展使我们能够计算得到准确的带隙。

Meta-GGA 泛函属于所谓 XC 函数的 Jacob 阶梯的第三阶，它不仅包含局域密度 $\rho(\mathbf{r})$ （如在 LDA 中，第一阶）和密度梯度 $\nabla\rho(\mathbf{r})$ （如在 GGA 中，第二阶），而且还有动能密度 $\tau(\mathbf{r})$。在 2009 年，Tran 和 Blaha^[1] 表明可以获得各种材料的准确带隙。在他们的公式中，交换式可由以下给出：

$$v_x^{TB}(\mathbf{r}) = cv_x^{BR}(\mathbf{r}) + \frac{3c-2}{\pi}\sqrt{\frac{4\tau(\mathbf{r})}{6\rho(\mathbf{r})}},$$

在这里，$\tau(\mathbf{r})=1/2\sum_{i=1}^N|\nabla\psi_i(\mathbf{r})|^2$ 是动能密度，$\psi_i(\mathbf{r})$ 是 Kohn-Sham 轨道，$v_x^{BR}(\mathbf{r})$ 是 Becke-Roussel 交换势Blaha^[2]。c 参数 可以由下式计算得到：

$$c = \alpha +\beta\left[\frac{1}{\Omega}\int_\Omega\frac{|\nabla\rho(\mathbf{r})|}{\rho(\mathbf{r})}d\mathbf{r}\right]^{1/2},$$

此处，$\alpha=-0.012$ 和 $\beta=1.023\ \mathrm{Bohr}^{1/2}$ 是通过拟合复制大量半导体和绝缘体的实验带隙确定的，${\Omega}$ 为晶胞体积。Tran 和 Blaha 采用的关联势是一个普通的 LDA 关联。

在 AT K中，您可以通过两种方式使用 Tran和Blaha 采用的 XC 泛函。您可以将 XC 指定为

exchange_correlation = MGGA.TB09LDA

在这种情况下，c 参数可以基于以上表达式自洽地地确定。这是默认设置，脚本的方式是通过 QuantumATK 里的 Script Generator 设置。

您也可以手动设置 c参数的值：

exchange_correlation = MGGA.TB09LDA(c=1.0)

电子和动能密度仍然完全自洽计算，但使用固定的 c 值。

如果以自洽方式计算 c 参数，则该值将被记录在日志文件中。它也可以在脚本中按照如下方法被提取

c = calculateTB09C(bulk_configuration)

在自洽计算之后。

现在您应该设置一个 InAs 块状晶体。在 Builder，点击 Add Database…，在搜索区域输入 InAs，添加结构到 Stash。

下一步是更改晶格常数到实验上室温时的晶格常数 $a=6.0583 Å$ ^[3]。

• 在控制板的右侧，打开 Bulk tools Lattice Parameters…
• 重要的是，您必须选择保持 fractional 坐标不变（如下图所示），否则晶体的对称性将在晶格常数改变时会被破坏。
• 设置 $a=6.0583 Å$。

接下来，将结构发送到 Script Generator。

在下文中，您将使用 meta-GGA 泛函和自洽及非自洽计算得到的 c参数计算 InAs 块体的能带结构。

为实现此目的：

• 添加 New Calculator 和 Bandstructure 模块。

打开 New Calculator 模块，做出如下更改：

• 设置 Exchange correlation 为 meta-GGA。
• 设置 k 点取样为 7,7,7。
• 在 Basis set/exchange correlation 下，更改砷的赝势为“HGH[Z=5], LDA.PZ”，铟的赝势为“HGH[Z=13], LDA.PZ”。为两种元素都选择 Tier 3 基组。
• 最后设置输出文件名为 InAs_hgh.nc。

保存脚本，然后使用 “Send To” 按钮将其发送到 Job Manager，运行作业。该计算将会花费 1 或 2 分钟。

当计算结束后，找到 LabFloor 上的能带结构数据块，点击 Bandstructure Analyzer 画出如下图的能带结构。

您会发现计算的带隙非常接近实验值 0.354 eV。当使用 HGH 赝势时，这实际上是一个相当普遍的趋势。下图显示了一系列半导体和绝缘体的计算带隙与实验带隙。图中展示了 LDA 和 meta-GGA 两种的计算结果（其他实例可参见 Ref^[1]），也显示了 LDA 总是低估带隙（在 DFT 中众所周知的带隙问题），而 meta-GGA 的结果通常非常接近实验值，且通常与代价更高的混合泛函或甚至 GW 计算的结果一样准确。

图 75 计算带隙与实验带隙。采用 LDA（蓝色方块）和 meta-GGA（红色圆圈）XC 泛函进行的计算。对于 meta-GGA 的计算，HGH 赝势常与 Tier 4 基组一起使用，并且 c 参数是自洽计算得到的。

虽然 HGH 赝势通过结合自洽计算的 c 参数通常能给出相当准确的带隙，但我们想要得到能够与实验值更加一致的结果。为了实现这一点，可以手动设置 meta-GGA 的 c参数使得计算的带隙与实验带隙一致。这也可以作为如本节所示补偿稍微不准确的赝势或基组的方法。

返回到 Script Generator，打开 New Calculator 模块并做如下设置：

• 在菜单选项下：Basis set exchange correlation，更改砷的赝势为“FHI[Z=5], LDA.PZ”，铟的赝势为“FHI[Z=3], LDA.PZ”。也就是说选择没有半芯态的赝势。
• 给两种元素都设置基组为 DoubleZetaPolarized。
• 更改输出文件名称为“InAs_c_fit.nc”。

点击 “Send To” 按钮将脚本发送到 Editor。

在 Editor 里，找到指定 XC 函数的所在行，将 c 参数这个自变量添加到 MGGA.TB09LDA 泛函。

#----------------------------------------
# Exchange-Correlation
#----------------------------------------
exchange_correlation = MGGA.TB09LDA(c=1.0)

然后将脚本发送到 Job Manager（再次使用 “Send To” 按钮）

计算结束后，画出能带结构图，测量带隙值。如果带隙比实验值（0.354 eV）大，就返回到 Editor 将 c 值降低一点，再次运行计算。如果带隙值较小，就必须增大 c 值。可以尝试一些迭代观察是否能得到与实验值一致的结果。

下图展示了在 4 个不同 c 值（0.9，0.95，1.0，1.05）下计算得到的带隙（左图）。由于特有的线性行为，我们可以安全地在计算带隙的插值线和实验带隙的交点处找到最佳 c 参数。于是就产生了我们将在接下来使用的 c 值 0.936。

右图为同样这 4 个 c 参数下计算得到的导带有效质量。还显示了实验的导带有效质量值（0.023 $m_e$）。线之间的交点在 c = 0.9356 处，所以非常重要的是，近似相同的 c 值可以优化带隙和有效质量，因此至少可以给 InAs 的最低 $\Gamma$ 凹谷提供一个非常好的描述。

图 76 计算的带隙（左）和导带有效质量（右）与meta-GGA c 参数的关系图。增加 c 值将始终导致带隙逐渐变大。带隙和有效质量都通过近似相同的 c 参数（0.936）得到优化。

在继续研究受限 InAs 结构之前，您将首先使用优化的 c 参数更详细地计算和分析块体能带结构。

返回到 Script Generator，作如下调整：

• 删除 Bandstructure 数据块。
• 插入一个 LocalBandstructure 模块，打开它（如下所示）。
  • 设置“Bands below Fermi level”为 0。
  • 设置“Points per segment”为 50。
  • 增加第二个方向：0.5，0.5，0。
  • 其他保持为默认值。
• 更改输出文件名称为 “InAs_bulk_c_optimized.nc”。

将脚本转移到 Editor，插入优化的 c 参数值：

#----------------------------------------
# Exchange-Correlation
#----------------------------------------
exchange_correlation = MGGA.TB09LDA(c=0.936)

最后，发送脚本到 Job Manager，运行计算。

为了分析结果，可以采用 Local Bandstructure Analyzer。

LocalBandstructure 数据块计算有效质量 $m^*$，并由函数 $E(1+\alpha E)=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$ 进一步拟合能带结构，该式中 $\alpha$ 是要拟合的参数。您可以使用适合的点的数量来控制拟合的范围。如下图所示，这种非抛物线色散关系比通常的抛物线模型 $E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$ 能更好地拟合 DFT-meta-GGA 能带结构。红色的点表示用于拟合 $\alpha$ 的范围。

图 77局部能带结构分析。黑点显示计算的能带结构数据，而蓝色和红色曲线分别显示抛物线和非抛物线模型的结果。拟合的 $\alpha$ 值和有效质量在图下方显示。

从 LocalBandstructure Analyzer，我们可以看出 InAs 在 [1,0,0] 方向上的导带可由 $m^*=0.028\,m_e$ 和 $\alpha=2.869\,eV^{-1}$ 精确描述，而抛物线模型只能较好地描述导带最小值邻近的能带。

尝试更改方向为 $(0.5, 0.5, 0)\,Å^{-1}$，计算此方向上的局部能带结构。注意，有效质量和之前的相同，即它是各向同性，而抛物线参数 $\alpha$ 为各向异性。

现在您将设置一个在 [100] 方向上受限的 InAs 平板结构。

返回至 Builder 窗口，假设您仍拥有之前的块状 InAs 晶体。

下一步，点击 Builders Surface (Cleave)…，沿 (100) 方向切割晶体。

• 保持默认的密勒指数 (100)，按下“Next”。
• 保持默认的表面晶格矢量，按下“Next”。
• 保持默认的超胞——这将确保线的方向垂直于表面。
• 选择“Non-periodic and normal (Slab)”，厚度为 8 层，顶部和底部的真空为 5 Å 的构型为最终结构。
• 按下“Finish”将切割后得结构添加到 Stash。

由于未配对的 In 原子和 As 原子，所谓裸露的 InAs 平板表面会有悬空键。这将导致在带隙中带有能量的金属表面态。为了钝化表面，您将现在添加氢原子。

打开 Coordinate Tools Custom Passivator。 设置 Hybridization（杂化）为“4 (SP3)”。 更改键长为 1.3 Å（否则相邻的氢原子会距离太近）。 按下“Passivate”按钮。

该结构现在应该类似于下图。

发送结构到 Script Generator。

在下文中，您将对钝化氢原子采用默认设置计能算带结构。为实现此目的：

• 添加一个 New Calculator。
• 添加 Analysis/Bandstructure。

打开 New Calculator 模块，设置交换关联为 meta-GGA，k 点取样为 7，7，1。注意 FHI 赝势是默认的选项。

最后，打开 Bandstructure 模块，设置布里渊区路径为“Y，G，X”，增加每段的点数至 100。

正如在 meta-GGA 的简介里所讨论的，c 参数的自洽计算仅适用于没有真空区域的块体系统。然而对于平板结构的计算，我们应该采用一个固定值。因此将脚本发送到 Editor，然后指定您在优化 c 参数的能带结构中找到的 c 参数使 FHI 赝势重现实验带隙。

#----------------------------------------
# Exchange-Correlation
#----------------------------------------
exchange_correlation = MGGA.TB09LDA(c=0.936)

保存脚本，将其发送到 Job Manager（再次使用 “Send To” 按钮）并运行计算。本次耗时略长，约 5 分钟。

################################################################################
# WARNING                                       #
#                                                   #
# The computed TB09 meta-GGA XC potential                    #
# diverged in   0.01 % of the simulation volume, and was      #
# truncated to be in the range [-10.0000,  10.0000] Hartree        #
#                                                      #
################################################################################

如果您现在使用 Bandstructure Analyzer 绘制此计算结果，您会发现没有带隙，而是在费米能量周围区域中有很多或多或少平缓的能带。这是由表面钝化不充分引起的表面态造成的。

为了摆脱表面状态（或者更确切地说将它们排除在费米能级处），我们需要对氢原子进行不同的处理。接下来的两节说明了消除表面态的两种可行方法，以为您的 InAs 平板生成合适的能带结构。

在下文中，您将使用包含分数电荷的所谓伪氢原子计算能带结构和有效质量。伪氢的用法是文献中众所周知的钝化 III-V 和 II-VI 表面的方法^[4]。

返回到 Script Generator 窗口，打开 New Calculator 模块。采用以下设置分别为与氢原子键合的铟原子和砷原子选择不同的基组：

• 在 Basis set/exchange correlation 下点击 Activate tags 按钮，为氢勾选 H_As 和 H_In 前的选项框。

这种技术，也就是使用标签，允许您为同一元素的原子分配不同的基组，在其他情况下也会是一个有用的技巧。

• 更改 H_As 原子的赝势为“FHI Fractional LDA.PZ”，设置基组为“DoubleZetaPolarized, Z=0.75”。
• 更改 H_In 的赝势为“FHI Fractional LDA.PZ”，基组为“DoubleZetaPolarized, Z=1.25”。

请注意以下要点。

• 定义了两个独立的氢基组：一个用于与铟原子键合的氢，另一个用于与砷原子键合的氢。两个基组使用不同的赝势，电荷分别为 1.25 个电子和 0.75 个电子。（从小程序它们看似用法相同，但分数赝势会自动地被选择去匹配基组电荷。）

• 这些赝势电荷的使用可以按照如下理解 ^[4]。未钝化的纳米晶体的表面由将引入带隙态的悬挂键组成。良好钝化的目的是消除这些带隙态。一种方法是将未键合的悬空键电子与其他电子配对。如果表面原子具有 m 价电子，则该原子将在四面体（sp3）晶体中为其四个键中的每一个提供 m / 4 个电子。为了在每个悬空键中匹配这些 m / 4 电子，钝化剂应该提供 （8-m）/ 4 个额外电子。由于As的 m = 5，因此应该用含有 （8-5）/4 = 0.75 个电子的伪氢钝化。同样地，In 有 m = 3 个价电子，应该用具有 （8-3）/4=1.25 个电子的伪氢钝化。

• 两种类型的氢原子都仍是电荷中性的，即有 1.25 个电子和带有 1.25 电荷的核心，0.75 的情况类似。

通过点击 Analysis LocalBandstructure 添加一个 LocalBandstructure 数据块，调整以下参数：

• 设置“bands below Fermi level”为 0。
• 增大“Points per segment”到 50。

设置输出文件名称为“InAs_slab_pseudohydrogen.nc”，发送脚本到 Editor，通常还要做 c 参数的调整。

#----------------------------------------
# Exchange-Correlation
#----------------------------------------
exchange_correlation = MGGA.TB09LDA(c=0.936)

最后，保存脚本并发送到 Job Manager 以运行计算。

采用 Bandstructure Analyzer 绘制计算的能带结构，您可以观察到带隙已经打开。伪氢原子确实如预期的那样使表面态远离费米能量。

通过检查能带结构，您可以看到带隙值已经增加到 0.1 eV，而体积值为 0.354 eV，与块体带隙的 0.354 eV 相比这是量子限制的结果。

接下来，您可以使用 Local Bandstructure Analyzer 检查计算的有效质量和非抛物线参数。

我们注意到与块体结构（0.028）相比，有效质量增加到 $0.1\,m_e$，而非抛物线参数 $\alpha$ 则降低到 1.739（块体为 2.869）。换而言之，InAs 平板有效质量的描述要优于块体。

在章节 Analytical band structure of a 2D slab 中，您将更详细地分析量子限制对带隙和有效质量的影响。

使用伪氢原子的替代方案是对氢原子采用了补偿电荷。这增加了对应于与铟键合氢的 +0.25 电子电荷和与砷键合氢的 -0.25 电子电荷的外势，类似于以上“利用伪氢钝化”章节部分在伪氢赝势中使用额外的 + / - 0.25电子。

• 转至 Script Generator，打开 New Calculator 模块。
• 找到 Basis set/exchange correlation，取消 H_As 和 H_In 前的勾选标记。这次对所有的氢原子的基组都设置为通用（无电荷）的“DoubleZetaPolarized”。
• 设置输出文件名为“InAs_slab_compensation_charge.nc”。

补偿电荷将在脚本中被定义。因此，将脚本发送到 Editor（使用“Send To”按钮）并在计算器说明之前插入以下列出的 Python 代码。

#--------------------------------------------------------------
# Add compensation charges to the hydrogen atoms
#--------------------------------------------------------------
 
# Compensation charge for H_As and H_In
charge_H_As = -0.25
charge_H_In =  0.25
 
# Set compensation charge
compensation_As = [('H_As',charge_H_As)]
compensation_In = [('H_In',charge_H_In)]
 
compensation = compensation_As + compensation_In
bulk_configuration.setExternalPotential(AtomicCompensationCharge(compensation))
 
# -------------------------------------------------------------
# Calculator
# -------------------------------------------------------------

再次，将 c参数添加到 MGGA.TB09LDA 泛函：

#----------------------------------------
# Exchange-Correlation
#----------------------------------------
exchange_correlation = MGGA.TB09LDA(c=0.936)

保存修改后的脚本并发送到 Job Manager，运行计算。

绘制结果，您也应该能够得到如下所示的图。

同样在费米能量周围存在着明显的带隙，且能带结构大体上与用伪氢获得的能带结构非常相似。

在“采用优化后 c 参数的能带结构”部分您学习到 InAs 的块体导带结构可以由非抛物线线模型很好的描述：

$$E(1+\alpha E)=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$$

上式中，$m^*=0.028\,m_e$，$\alpha=2.87\,eV^{-1}$。在本节中，您将利用该表达式建立一个分析表达式用于 2D 平板和 InAs 纳米线导带分散的描述。特别地，您会发现 $m^*$ 值和确定的 $\alpha$ 被正确对待时，对于块体 InAs 也会给出受限非抛物线能带结构的精确描述。

上面的等式仅给出能量作关于 k 的隐函数。二次方程的解可引导明确的色散关系

$$E(k_x,k_y,k_z) = \frac{-1 + \sqrt{1+\frac{2\alpha\hbar^2}{m^*}(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)} } {2\alpha},$$

此处假设 $m^*$ 和 $\alpha$ 与晶体取向无关。这是电子质量的极佳近似值 $m^*$，而 $\alpha$ 如上所述，确实不同。

在受限系统即 2D 平板或 1D 纳米线中，可允许的波长在受限方向上被量化。在沿 z 方向限制的平板中，可假设有效势通过宽度为 $W$ 的一维无限势阱来近似。在该方向上可允许的波长为 $\lambda_n = \frac{2W}{n}$，$n=1,2,3,...$。在这里只有最低的能带 $n=1$ 是相关的，相应的波数是 $k_z = \frac{2\pi}{\lambda_1} = \frac{\pi}{W}$。在上面的等式中插入这个生成：

$$E_\mathrm{2D}(k_x,k_y) = \frac{-1 + \sqrt{1+\frac{2\alpha\hbar^2}{m^*}(k_x^2 + k_y^2 + \frac{\pi^2}{W^2})} } {2\alpha},$$

从这个表达式中，您可以很容易地计算出由于量化导致的带隙偏移：

$$\Delta E_\mathrm{gap} = E^{2D}(0,0) = \frac{-1 + \sqrt{1+\frac{2\alpha\hbar^2\pi^2}{m^*W^2}} } {2\alpha}.$$

也可能得到 $\Gamma$ 点有效质量的表达式 $m^*=\hbar^2(\partial^2E(k)/\partial k^2|_{k=0})^{-1}$。您可以尝试推导出表达式

$$m^*_\mathrm{2D} = m^*\sqrt{1 + \frac{2\alpha\hbar^2\pi^2}{m^*W^2}}.$$

为了评估上述表达式，您只需要知道平板宽度 $W$。宽度可能以各种方式定义，但如果您考虑在 $\Gamma$ 点计算的导带 Bloch 态的受限，您将会发现它在您定义的平板宽度上延伸了约 $W=$30 Å。使用此数据，您可以获得以下带隙增加和有效质量的值：

$$\Delta E_\mathrm{gap} = 0.62 eV$$ $$m^*_\mathrm{2D} = 0.11 m_e,$$

与“利用伪氢钝化-结果”部分比较，即 \Delta E_\mathrm{gap}=(0.96-0.354)\ \mathrm{eV}=0.61$$ eV，$m^*_\mathrm{2D}=0.1\,m_e$。

因此，对于块体 InAs，了解有效质量和 $\alpha$ 足以使 2D 受限 InAs 平板能带结构得到一个非常合理的描述。相似的方法适用于纳米线，也将在以下的“纳米线能带结构”中展示。

注意，有效质量非常显著地超过三倍的增长不能由抛物线模型 $E(k) = \frac{\hbar^2k^2}{2m^*}$ 解释，因为其有效质量为常数，且只有带隙受量子限制的影响。

为了可以直观地检查非抛物线模型的质量，您可以运行下面显示的脚本 ↓ analyze_nanowire.py。

analyze_nanowire.py

import pylab as pl
from NL.CommonConcepts.Configurations.Utilities import fractional2cartesian
 
 
#-------------------------------------------------------------------------
# Model data
#-------------------------------------------------------------------------
 
# alpha parameter fitted to bulk InAs
alpha_bulk = 2.869
 
# InAs bulk conduction band effective mass
meff_bulk = 0.028*electron_mass
 
# Effective width of slab
slab_width = 30*Angstrom
 
 
#-------------------------------------------------------------------------
# Load DFT calcularted bandstructure and effective mass
#-------------------------------------------------------------------------
 
# Read bulk configuration
configuration = nlread('InAs_slab_pseudohydrogen.nc',BulkConfiguration)[0]
 
# Read bandstructure
bandstructure = nlread('InAs_slab_pseudohydrogen.nc',Bandstructure)[-1]
 
# Read Effective mass
effective_mass = nlread('InAs_slab_pseudohydrogen.nc',EffectiveMass)[0]
meff = effective_mass.evaluate(band=1)[0][0][0]
 
# Get the fractional kpoints
kpoints = bandstructure.kpoints()
 
 
# Get reciprocal lattice vectors (used to convert frational k to cartesian k)
G = configuration.bravaisLattice().reciprocalVectors()
 
# K-points in cartesian coordinates, Ang^-1
k_cart = fractional2cartesian(kpoints, G)
 
# Get |k| as 1D array
k = numpy.zeros(len(kpoints))
for ii,ki in enumerate(k_cart.inUnitsOf(Angstrom**-1)):
    k[ii] = (ki[0]**2 + ki[1]**2 + ki[2]**2)**0.5
 
# Add unit
k = k*Angstrom**-1
 
# Get all the bands
bands = bandstructure.evaluate().inUnitsOf(eV)
 
# Energies at the Gamma-point
E0 = bands[0,:]
 
# Index of conduction band
conduction_band_index = numpy.where(E0 > 0.0)[0][0]
 
# Get the energies of the conduction band
conduction_band = bands[:,conduction_band_index]
 
# conduction band minimum
cbm = min(conduction_band)
 
# Evaluate non-parabolic model bandstructure
E_non_parabolic = (-1 + (1 + 2*alpha_bulk*(hbar**2/meff_bulk*(k**2 + numpy.pi**2/(slab_width)**2 ) ).inUnitsOf(eV) )**0.5 )/(2*alpha_bulk)
 
# Align conduction band minimum to DFT
E_non_parabolic = E_non_parabolic - min(E_non_parabolic) + cbm
 
# Evaluate parabolic model bandstructure and align CBM
E_parabolic = (0.5*hbar**2*k**2/meff_bulk).inUnitsOf(eV) + cbm
 
 
# Ananlytical effective mass of slab
m_slab = meff_bulk * (1 + 2*alpha_bulk*(hbar**2*numpy.pi**2/(meff_bulk*slab_width**2)).inUnitsOf(eV) )**0.5
print ''
print 'Analytical slab mass = %.4f m_e' %m_slab.inUnitsOf(electron_mass)
print 'DFT slab mass = %.4f m_e\n' %0.095
 
# Analytical band gap increase
delta_gap = (-1 +  (1 + 2*alpha_bulk*(hbar**2*numpy.pi**2/(meff_bulk*slab_width**2)).inUnitsOf(eV) )**0.5)/(2*alpha_bulk)
print 'Analytical band gap increase = %.4f eV' %delta_gap
print 'DFT gap change = %.4f eV' %(0.91-0.354)
print ''
 
 
pl.figure()
pl.plot(k,conduction_band,'k',label='DFT conduction bands')
pl.plot(k,bands[:,conduction_band_index+1:conduction_band_index+5],'k')
pl.plot(k,E_non_parabolic,'r',label='Non-parabolic fit ')
pl.plot(k,E_parabolic,'b',label='Parabolic fit')
pl.xlabel('k  (Ang.$^{-1}$)')
pl.ylabel('Energy  (eV)')
pl.ylim([0,1.5])
pl.legend(loc=0)
 
pl.show()

作为最后的任务，您将研究是否分析模型也可用于估算纳米线的能带结构。由于纳米线的计算相当耗时，我们在此处只会显示结果，将实际计算作为练习。

您可以通过返至 Builder 窗口创建 InAs 纳米线，并按照以下步骤操作：

• 沿 A 轴方向重复 InAs 平板 6 次。
• 更改晶格常数使 x 方向上的 A 矢量为 40 Å 。
• 使用 Custom Passivator 以与处理平板相同的方式钝化纳米线。
• 坐标居中。

将结构发送到 Script Generator，采用与含有伪氢平板计算相同的程序。另外，

• 设置 k 点取样为（1,9,1）。
• 添加 Bandstructure，更改布里渊区路径为“G,Y”。
• 添加 Analysis/EffectiveMass，设置方向为“Cartesian”，（x,y,z） = （0,1,0）。
• 设置输出文件名称为“InAs_nanowire.nc”。
• 将脚本发送到 Editor，设置 meta-GGA c 参数为 0.936。
• 最后把脚本发送到 Job Manager 并运行，注意本次计算将用时约 1 小时。

当计算完成后，您可以运行如下的 Python 脚本 ↓ analyze_nanowire.py 分析非抛物线模型的质量。

analyze_nanowire.py

import pylab as pl
from NL.CommonConcepts.Configurations.Utilities import fractional2cartesian
 
 
#-------------------------------------------------------------------------
# Model data
#-------------------------------------------------------------------------
 
# alpha parameter fitted to bulk InAs
alpha_bulk = 2.869
 
# InAs bulk conduction band effective mass
meff_bulk = 0.028*electron_mass
 
# Effective widths of nanowire
Dx = 30*Angstrom
Dz = 30*Angstrom
 
 
#-------------------------------------------------------------------------
# Load DFT calcularted bandstructure and effective mass
#-------------------------------------------------------------------------
 
filename = 'InAs_nanowire.nc'
 
# Read bulk configuration
configuration = nlread(filename,BulkConfiguration)[0]
 
# Read bandstructure
bandstructure = nlread(filename,Bandstructure)[-1]
 
# Read Effective mass
effective_mass = nlread(filename,EffectiveMass)[0]
meff = effective_mass.evaluate(band=1)[0][0][0]
 
# Get the fractional kpoints
kpoints = bandstructure.kpoints()
 
 
# Get reciprocal lattice vectors (used to convert frational k to cartesian k)
G = configuration.bravaisLattice().reciprocalVectors()
 
# K-points in cartesian coordinates, Ang^-1
k_cart = fractional2cartesian(kpoints, G)
 
# Get |k| as 1D array
k = numpy.zeros(len(kpoints))
for ii,ki in enumerate(k_cart.inUnitsOf(Angstrom**-1)):
    k[ii] = (ki[0]**2 + ki[1]**2 + ki[2]**2)**0.5
 
# Add unit
k = k*Angstrom**-1
 
# Get all the bands
bands = bandstructure.evaluate().inUnitsOf(eV)
 
# Energies at the Gamma-point
E0 = bands[0,:]
 
# Index of conduction band
conduction_band_index = numpy.where(E0 > 0.0)[0][0]
 
# Get the energies of the conduction band
conduction_band = bands[:,conduction_band_index]
 
# conduction band minimum
cbm = min(conduction_band)
 
# Evaluate non-parabolic model bandstructure
E_non_parabolic = (-1 + (1 + 2*alpha_bulk*(hbar**2/meff_bulk*(k**2 + numpy.pi**2/(Dx)**2 + numpy.pi**2/(Dz)**2 ) ).inUnitsOf(eV) )**0.5 )/(2*alpha_bulk)
 
# Align conduction band minimum to DFT
E_non_parabolic = E_non_parabolic - min(E_non_parabolic) + cbm
 
# Evaluate parabolic model bandstructure and align CBM
E_parabolic = (0.5*hbar**2*k**2/meff_bulk).inUnitsOf(eV) + cbm
 
 
# Ananlytical effective mass of slab
m_slab = meff_bulk * (1 + 2*alpha_bulk*(hbar**2*numpy.pi**2/(meff_bulk)*(1/Dx**2 + 1/Dz**2 ) ).inUnitsOf(eV) )**0.5
print ''
print 'Analytical nanowire mass = %.4f m_e' %m_slab.inUnitsOf(electron_mass)
print 'DFT nanowire mass = %.4f m_e\n' %meff
 
# Analytical band gap increase
delta_gap = (-1 +  (1 + 2*alpha_bulk*(hbar**2*numpy.pi**2/(meff_bulk)*(1/Dx**2 + 1/Dz**2 ) ).inUnitsOf(eV) )**0.5)/(2*alpha_bulk)
print 'Analytical band gap increase = %.4f eV' %delta_gap
print 'DFT gap change = %.4f eV' %(1.548-0.354)
print ''
 
 
pl.figure()
pl.plot(k,conduction_band,'k',label='DFT conduction bands')
pl.plot(k,bands[:,conduction_band_index+1:conduction_band_index+5],'k')
pl.plot(k,E_non_parabolic,'r',label='Non-parabolic fit ')
pl.plot(k,E_parabolic,'b',label='Parabolic fit')
pl.xlabel('k  (Ang.$^{-1}$)')
pl.ylabel('Energy  (eV)')
pl.ylim([0,1.5])
pl.legend(loc=0)

对于 InAs 平板，非抛物线模型比抛物线/有效质量模型能更好地描述纳米线中的最低导带。尽管非抛物线模型与 DFT 能带结构之间的一致性不如平板的那么好，但它仍然提供了一个非常合理的估算。

• [1] Tran, and P. Blaha, Phys. Rev. Lett., 102, 226401, (2009)
• [2] A.D. Becke, and M.R. Roussel, Phys. Rev. A., 39, 3761, 1989
• [3] http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/Semicond/InAs/index.html
• [4] Li, and L.-W. Wang, Phys. Rev. B, 72, 125325, (2005)
• [5] 英文原文：https://docs.quantumwise.com/tutorials/inas_2d_mgga/inas_2d_mgga.html#bulk-inas-band-structure-with-meta-gga